la tierra; pero la ciencia de las relaciones de cuanto es mensurable, incluso el tiempo, debió conocerse antes con otras aplicaciones á las artes, á la edificacion y á la astronomía, de donde pudiera elevarse á la indagacion de otros principios, que sin necesidades de otra indole mal pudieran inspirarse en aquellas especulaciones mercenarias. De cualquiera suerte, prescindiendo de la importancia que el P. Prestet da á Abraham como geómetra maestro de los egipcios, pasemos á reconocer en Grecia la geometría importada por Thales de Mileto que la aprendió de los sacerdotes de Memphis.

La geometria que el primero de los siete sabios de Grecia aprendió de los egipcios era usual y práctica, y aquel discípulo por su genio superior la elevó en breve á la altura de los principios desconocidos de sus maestros, Thales en uso de su genio descubrió las proposiciones importantes que ocupan el quinto, quindécimo y vigésimo quinto lugar del libro primero de Euclides, y el trigésimo primero del tercero: Proclo asegura que el procedimiento de Thales para medir la pirámide dió lugar á la cuarta proposicion del libro IV; y como las verdades geométricas se enlazan y se deducen unas de otras, hay razon para creer que aquellas dieran origen á otras muchas proposiciones.

dos etc. (Véase el artículo CUERDA), y aun cuando aquella ciencia no habia llegado por él á grande altura, la cualidad de geómetra le era muy halagüeña; asi, en las medallas en que se conserva la imágen de este grande hombre se le representa ya ocupado en su estudio, ya teniendo en la mano la varilla de que los primeros gcómetras se servian para trazar las figuras en la arena.

Las conveniencias de la geometria se espusieron por Pitágoras, con tal ascendiente, que vino á ponerse en veneracion esta ciencia, mirándola como el estudio preferente del hombre, pues que era el de la verdad. Refiere la historia, que habiendo naufragado el filósofo Aristipo en una isla desconocida donde nadie se arriesgaba á entrar, vió en la arena figuras de geometria, y trasportado de júbilo gritó á sus compañeros de naufragio: «No temais, pues veo brazos de hombres. »

Hipócrates de Scio, despues de haber enriquecido esta ciencia por el descubrimiento de la cuadratura de la lunula, y reconocido que se podia duplicar el cubo por dos medias proporciouales entre dos líneas dadas, escribrió por vez primera los Elementos de geometria, ciencia que hasta entonces se habia enseñado de palabra.

Demócrito, estrechamente unido á Hipócrates y á los discípulos de Pitágoras, escribió sobre la tangencia del circulo y de la esfera, tratando asimismo de las lineas irracionales, de los sólidos y de los números geométricos.

Pitágoras fué enviado al Asia Menor donde residia Thales, para recibir las lecciones de este maestro, el cual, admirado de los progresos de su discípulo, quiso que fuese á com- Platon, siendo ya filósofo, fué discipulo pletar su estudio con los sacerdotes de Mem- de Hipócrates y abrió su escuela de filosofia, phis, tal vez porque les creyese mas sabios segun se dice, en un huerto ó jardin cedido que él en la geometría, ó acaso para dar á co-por Acudemo, por lo cual se dió el nombre de nocer á aquellos sus adelantamientos. Academia al aula en que Platon enseñaba y

No hallando Pitágoras en Egipto los geó-á la secta de que es principe, llamándose tammetras que buscaba, recurrió á sus propias luces, y entregándose enteramente á su genio, descubrió dos grandes proposiciones que son la trigésima segunda y la cuadragésima sétima del libro I de los Elementos de Euclides: esta sin duda es la mas graciosa de cuantas se han descubierto hasta el presente (1). Dicese que Pitágoras, comprendiendo la importancia de esta proposicion, sacrificó cien bueyes á los dioses, en accion de gracias por haberla descubierto.

bien académicos sus sectarios á diferencia de los escolásticos. Estimaba Platon en tanto grado las verdades de aquella ciencia, que mandó escribir á la puerta de su aula: No entre quien ignore la geometria. Esponia Platon diariamente nuevas proposiciones y aceptaba las cuestiones que se le proponian para satisfacerlas. Como una de estas se refiere, que afligidos de la peste los habitantes de la isla de Delos, acudieron al oráculo de Apolo, el cual les dijo que la deidad les concederia Los descubrimientos hechos y reunidos por su demanda si le hacian un altar doble del Aristóteles, le pusieron en estado de presentar que tenia. Para resolver esta cuestion acudiela geometría como ciencia, y en cuerpo de ron los isleños al filósofo; y éste, desconfian doctrina, y con este propósito fué el primero do de sus fuerzas para la solucion de tal proque abrió escuela para enseñarla, de donde blema, aconsejó á aquellos hombres que conproviene que se llame escolasticismo su secta sultasen á Euclides, no sin ocuparse tambien filosófica, y escolásticos sus sectarios. No que- en la cuestion, que dió resuelta por dos meriendo este filósofo limitarse á la geometria, dias proporcionales, sabido que el altar de se dedicó á asuntos entonces maravillosos, co- Apolo era un cubo; pero como este descubrimo la teoría de los números, la de los soni-miento se debe á Hipócrates, se niega al prin

(4) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado del hipotenusa es igual à la suma de los cuadrados de los cathetos.

cipe de los académicos el mérito de la solucion.

En aquel siglo, el mas floreciente de la geometría, se suceden rápidamente los descu

:

Aristeo descubrió luego la teoría de los conos y la de la resolucion de los lugares sólidos, y escribió seis libros de Narraciones geométricas.

brimientos entre los mismos geómetras con- cia, deja á cargo de los sucesores el establetemporáneos; por esta razon si hemos de obser- cer sus fundamentos; como se observa en tovar el órden cronológico en el adelantamiento dos los pasos del humano saber, donde la nede la idea, conviene hablar de otros antes que cesidad y la conveniencia aconsejan las aplide Euclides aun cuando por el espuesto pre-ciones antes de consignarse los principios; de cedente se comprenda que era contemporáneo donde resulta la diferencia entre las obras del de Platon, ó que éste reconocia la superiori-instinto que produce adivinando, y las del indad de su ingenio. Y ya que esta advertencia genio que descubre las nuevas verdades por nos distrae por un momento, diremos algo el acierto en las comparaciones. De cualquiemas sobre el problema de la duplicacion del ra suerte en Architas, á quien segun dejamos cubo, pues que de ello podrá inferirse cuan- dicho, es debida una de las soluciones de la to era el estudio de aquellos geómetras y cuan- duplicacion del cubo, se hallan por vez prito el aprecio con que miraban la ciencia y el mera reunidas las matemáticas y las aspirainterés que tenian en su adelantamiento. Re-ciones á la mecánica, prediciendo el estresultan por el padre de los académicos la dupli- cho consorcio que hoy las hace inseparables. cacion del altar de Apolo por la fórmula de Hipócrates de Scio, aplicáronse luego otros varios ingenios á hallar diversa solucion al mismo problema, reconociéndose como los mas notables, Architas que daba la solucion Apolonio Pergeo, de quien anticipadamenrefiriéndose al cilindro: Erastótenes, que inven- tu hemos dado noticia, debiera acaso citarse tó un mecanismo compuesto de un juego de antes que Aristeo, pues opinan otros que por triángulos, llamado Mesolavio para hallar dos su libro de las secciones Cónicas, se deben á medios proporcionales; y asimismo Heron de él los primeros trabajos sobre lo que se llamaAlejandria, polonio Pergeo, Pappo de Ale- rá líneas curvas y de, ó sea la ciencia de jandria, Sporo, Menechmo Tarentino, Phylo las Geometria compuesta los cuerpos que ellas By zancio, Phylipono, Diocles y Nicomedes, producen. Y ya que de esta parte de la cienque mas tarde dieron soluciones diferentes, si cia tratamos, parécenos conveniente citar ahobien ninguna de ellas mas elegante que la dera á Sereno, que escribió de las Secciones del las medias proporcionales. (Sobre este particular pueden consultarse los Comment. in lib. II, Archimedis De sphera et cilindro.) Volvamos á la esposicion de los adelantamientos geométricos, sin aceptar respecto al órden cronológico la responsabilidad que dejamos á los historiadores que tenemos á la vista.

metra.

cilindro, y á Theodosio que trató de las de la esfera, dejando para lugar oportuno á Arquimedes que dió sus tratados sobre las conóides y esferóides y sobre la cuadratura de la parábola.

ticos, es una de las razones por que no aceptamos la responsabilidad en cuanto à la certeza de ciertas noticias, ni respecto al órden cronológico que hemos seguido por ser el mas conforme con el de la generalidad de los historiadores.

Gemino Sosigenes entretanto profundizó y ensanchó los fundamentos de la geometria Leon ó Leoncio, halló, segun se dice, el distinguiendo tres especies de líneas, la recta, modo de distinguir los problemas solubles de la circular y la espiral cilindrica: enseñó tamlos irresolubles, y escribió refiriéndose á Hi-bien la generacion de la conchoides y cisoides, pócrates nuevos Elementos de geometria, mas aunque no sin fundamento se dice que Dioexactos que los que habia dado aquel geó- cles fué el inventor de esta última curva, y que la de la otra se debe á Nicomedes. Esta Archilas de Tarento, del cual dejamos he- inseguridad respecto á los personages à quiecha mencion en el artículo MAQUINAS, se pre-nes se tribuyen los descubrimientos matemásenta en tiempo de Platon como el primer mecánico, ó mas bien diremos como intérprete de las aspiraciones á esta ciencia matemática, la cual no podia llevar propiamente el nombre de mecánica, pues que aun no se habian descubierto sus principios, aun cuando asi lo diga Herigone, (tom. VI de su Cours mathematique) refiriéndose á Vitruvio y otros autores antiguos. Si es cierta la tradicion reiterada por el mismo Herigone de que Architas hizo una paloma de madera que volaba, resolviendo entonces por puro mecanismo la cuestion que tanto estudio y disgustos ha costado en estos años à Montemayor y tanto dinero á sus favorecedores, debe decirse que el tarentino, desconociéndose por aquel tiempo los principios y las reglas del movimiento, de las cuales no hay noticia que hubiera escrito, merece solo el concepto de un hombre de talento, que ejercitado en las aplicaciones instintivas de la cien

Euclides, á quien unos creen natural de Megara, y otros, tal vez con mas fundamento, de Alejandría, aparece en fin, completando el cuadro de la primera edad de la geometria, que puede llamarse su primavera, pues que en ella se prepara el fruto que sucesivamente se recoge de sus aplicaciones. A Euclides se deben los cinco libros de Elementos de geometria, estableciendo los principios de esta ciencia, á los cuales nada nuevo se ha agregado. Por la precision con que este hombre inmortal demuestra sus elementos, puede inferirse la solidez é importancia de sus demas obras; Pappo ó Pappus al conmemorarlas llora

la pérdida de ellas, asi como las ciencias y las artes deben lamentarla por el trabajo que hubieran aborrado en la parte didáctica y por el provecho que se habria seguido de sus aplicaciones.

Entramos ya en la segunda edad de la geometria, que debe contarse desde Arquimedes. En esta nueva era aparecen las aplicaciones, y se utilizan ya las matemáticas unidas á las otras ciencias.

Ofrécese ya en el álgebra otra parte de las matemáticas de cuyo origen hay tambien incertidumbre, pues no todas las opiniones están conformes en ceder á los árabes la gloria de este descubrimiento.

Si es cierto que Leon ó Leoncio halló el modo de distinguir los problemas solubles de los irresolubles aunque los procedimientos se refiriesen á la geometría: si se atiende al propósito de lo que Apolonio escribe bajo el nombre de proporciones: si ha de darse valor al juicio que Wallis forma en consecuencia de la Disertacion de Barrow titulada De Archimedis methodo investigandi, parece que hay razon bastante para deducir que el algebra se practicaba por los antiguos. La opinion de que

Aristóteles precede en las aplicaciones escribiendo sobre la mecánica, anticipándose tambien su discípulo Teofrastro, que dió cuatro libros de Historias geométricas y uno de De lineas individuas. Tiene ahora su lugar Erastotenes, de quien ya hemos dado noticia como autor del Mesolabio, y debe tambien re-el álgebra, bajo otro nombre si se quiere, era cordarse aqui el mismo Pappus que demostró la teoría del vecte ó palanca, del axis in peritrochio, ó sea molinete ó cabestante, de la polca, del tornillo y de la cuña.

ya conocida, se robustece por el concepto de las obras compuestas por Diofanto, que vivió en Alejandría en tiempo del emperador Antonino. De los trece libros de Diofanto se conservan seis que Xilandro tadujo del griego al latin, impresos en 1575, de los cuales dió Gaspard Bachet una nueva edicion acompañada del texto griego, con notas, corrigiendo ciertos errores por mala inteligencia de Xilandro.

Arquimedes, memorable por el espejo ustorio con que se cree haber incendiado la escuadra de Marcelo en el asedio de Siracusa, como mas tarde Proclo la de Vitelo en el de Constantinopla, (véase sobre esta duda lo que dejamos espuesto en la palabra Foco): Arqui- Si no se atiende á que la ciencia de califamedes, memorable en tantos otros conceptos, to resulta del amasijo de las tradiciones orieny sobre todo por las aplicaciones á la mecá- tales y de los despojos de la civilizacion grenica, compuso para adelantamiento de esta co-latina trasportados á sus academias: si no ciencia dos libros titulados: De los equiponde-hay razon bastante para probar ya que las harantes, y dió en ampliacion de las matemáticas un Tratado de la esfera, otro del cilindro, y otro de la cuadratura de la parábola.

Al hablar de Apolonio por la duda sobre la prioridad de Aristeo respecto á las secciones cónicas, le dimos con incertidumbre aquel lugar trastornando acaso el órden cronológico: ahora creemos seguirlo en cuanto al tiempo en que aparecen las obras de aquellos matemáticos, pues se tiene por cierto que despues de Arquimedes, publicó Apolonio, llamado el gran geometra, ocho libros sobre los conos, demostrando las propiedades de sus secciones; ademas escribió de las proporciones, de la seccion | determinada, de la seccion del espacio, de la inclinacion, de las tangencias, de los lugares planos y de otros varios asuntos. La razon porque hablamos ahora de Apolonio, deben con mucha mas razon tenerse presente respecto á Sereno y Theodosio, citados antes al tratar sobre los descubrimientos relativos à las curvas compuestas originarias de la seccion de la esfera y del cilindro.

ya para presumir que los libros de Diofanto, traducidos como tantos otros por disposicion de los califas, pusiesen en manos de los árabes el gérmen del cálculo por cuyo medio se resuelven en términos generales todos los problemas: si en esta indagacion se prescindedel origen de la idea y se atiende solo al de la palabra con que se espresa, necesario será confesar el origen árabe del álgebra, siguiendo la opinion de los que miran esta palabra como formada de las otras Algial valnnckabala que significan restituir, reintegrar. Otros autores que buscan el origen de las ideas en el de las palabras que les sirven de signo, sitúan el del algebra en el pueblo de Moisés, diciendo que procede de un vocablo hebreo, cuyo sentido es fuerza ó poderío, espresando asi el poder de aquella ciencia. Preténdese tambien que en el siglo XI vivia un árabe llamado Geber, el cual, distinguiéndose en la ciencia de las proporciones, ó ya de la reintegracion segun el concepto de la formativa árabe algial, ó ya en fin, del poderio, atendiéndose la indicada formacion hebraica, dió origen á la palabr cen cuestion que formándose con la segregacion del articulo al seria Al-geber ó bien algebra invirtiendo las letras finales.

Despues de Apolonio la geometría se aumentó, ilustrándose de tiempo en tiempo con algunas verdades nuevas, pero sin publicarse nada notable ni cambiar de faz hasta el tiempo de Descartes. Este hombre memorable aplicando Que el álgebra propiamente dicha se usael álgebra á la geometría elemental la despo-ba entre los árabes antes que en Europa es injó de la geometría compuesta, cuyos limites fijaron Newton y Leibnitz por el descubrimiento del cálculo de los infinitamente pequeños.

negable, como lo es tambien que en el siglo XIII esta ciencia ya ordenada en sus elementos se importó del Oriente por los religiosos del orden de San Francisco: debe tenerse

Descartes aplicó el álgebra á la geometría, y esta ciencia compleja llegó á su perfeccion por los trabajos de Newton y Leibnitz que introdujeron los esponentes indeterminados.

Dejemos ya el algebra en las aspiraciones de otra indole de Robert Hook, el cual se propuso componer una algebra filosófica, ó un método para descubrir las verdades ocultas de la naturaleza, y lamentando el objeto de dementes aplicaciones, reconozcamos que el álgebra se ha elevado á la altura en que hoy se encuentra por la cooperacion intermedia de Hudde, Fermat, Wallis, el P. Prestet, el padre Lamy, Ceva, Ozanan, Rolle, y por la sucesiva de S'Gravezande, De-Lagni, el padre Reynau, Crouzas, Deidier, Saunderson, Maclaurin, Clairaut, etc. etc.

presente que los árabes embebian el álgebra tras minúsculas se debe á Harriot, cuyo libro en la aritmética, y se servian de ella por me- in folio se publicó en Londres por Walter dio de números, de donde proviene esa distin-Leamer, año 1631. cion entre lo que al principio se llamaba álgebra vulgar ó numerosa del algebra nova ó arithmetica speciosa, ó álgebra speciosa y tambien logistica speciosa, entendido que este epiteto denota el uso de las letras en vez de números y el arte de las ecuaciones ensanchando los estrechos límites del álgebra de los árabes. Continuemos desde este punto la historia de los adelantamientos en el álgebra para reconocer la parte que se debe á los orientales. Antes de que se publicasen traducidos por Xilandro los libros de Diofanto, un religioso italiano llamado Lucas Paccioli y que por las reglas de su órden trocó su nombre por el de Lucas de Burgo Sancti Sepulchri, dió á luz impresa en Venecia (año 1494) una obra titulada: Summa arithmetica et geometriæ proportinumque et proportionalitatum: en esta obra (lib. VIII) trataba ligera- Hemos dado el último lugar á la aritmémente del álgebra y del modo como los ára-tica, solo por la influencia que tienen los árabes la enseñaban. Fundados en estos antece-bes en su adelantamiento, consiguiente al serdentes, los que profesaban el cálculo se dedi-vicio de los caractéres comunes. Atendiendo á caron á aquella parte de la aritmética, espues-que las antiguas matemáticas se dividian en ta luego brevemente por Michael Stifel en el aritmética, geometria, astronomía y música, libro tercero de su Arithmética integra. Estos autores elevaron el álgebra hasta las ecuaciones cuadradas.

acaso hubiéramos debido empezar por la primera de estas partes, pero como el origen de las matemáticas está en las aplicaciones donDescubriéronse luego por el italiano Scipio de se ha atendido á la medida antes que al núFerreus las reglas de las ecuaciones cúbicas mero, y como los adelantamientos antiguos en Hamadas comunmente Reglas de Cardan por- aquella son mas eficaces que en este, hemos que éste las publicó en 1545. Despues de este preferido llevar el órden de la idea con arrey consiguiente á la invencion de Luis de Fer-glo à la luz que difunde, y hemos dejado de rara, dió Rafael Bombelli su álgebra en italiano, valiéndose de las ecuaciones cúbicas: esta algebra que hasta aqui era la numerosa siguió llamándose la Regla de Coss. (Respecto al Arte Cossa y con relacion á las Reglas de Cardan, véase Ars magna quam vulgo Cossam vocant.)

hablar de la aritmética de los antiguos, porque en verdad distaba mucho de ser tan clara como la geometría.

Era la geometria entre los griegos una ciencia ya con caractér didáctico, y sin embargo, la aritmética se defraudaba por la supersticion, vicio que heredaron de los egipcios, adquirido de los hebreos, al formar el alfabeto sobre el antecedente de los caractéres de estos pueblos, en los cuales iba embebido el valor y la idea del número, y con la idea la de la su

El servicio de las letras en vez de números se debe á Francisco Viette, como asimismo la regla para obtener tan exactamente como se quiera la raiz de las ecuaciones aritméticas: he aqui el álgebra especiosa agena enteramen-persticion y la cábala que cambia de faz al en

te de los árabes.

Aparece luego la Clavis mathemática de Oughtred, donde indica este un modo mas fácilde marcar las dignidades, y da el método de inventar teoremas y resolver problemas de geometria vulgar por medio del álgebra especiosa; siendo este el primer paso en la senda de las aplicaciones del álgebra á la geometría abierta luego por el ingenio mas poderoso de Descartes.

trar en aquella teogonia. (Véase sobre este particular lo que dejamos dicho en la palabra DACTILONOMIA) El número 2, segun Pitágoras, que tan prudentes aplicaciones hace de las matemáticas á la música, designaba el mal principio y por consiguiente el desorden, la confusion y el trastorno, y el mismo Platon, á quien ya conocemos en cuanto à la geometría, comparaba este número con Diana despreciada por estéril. Gozaba el 3 de mejor reputacion, y Tomas Harriot en su Artis analytica era la clave de ciertos misterios, mereciendo Praxin establece las reglas del álgebra en el que los pitagóricos le llamasen la armonia estado en que hoy se encuentran, introduce la perfecta, acaso por el buen efecto que en la multiplicacion por la conjuncion de las letras música produce la tercera. Nicomaco decia sin signo, y los caractéres de las dignidades que el número 4 era el tipo de la naturaleza. a, aa, aaa, etc., que por Descartes se cambian Era entonces el número 5 emblema del matriluego en a, a, a, a, etc. : el uso de las le-monio, porque se componia del 2 y el 3, y Ju

205

MATEMATICAS-MATERIA SACRAMENTAL

206

las fracciones decimales para el cálculo de las tablas logaritmicas.

Simon Stevin, hace próximamente tres si

no lo protegia porque significaba la reproduccion. Venerábase el número 6 porque en sus propiedades se simbolizaba la justicia: y era el 7 funesto por su influjo en los años climate-glos, escribió un tratado particular recomenricos; creencia que segun Aulo-Gelio, tomó dando el uso de las fracciones decimales á los Pitágoras de los caldeos (Aulii Gellii, Noctes astrónomos, á los geómetras, y especialmente Atticæ, lib. III, cap. IX.) para las medidas de toda especie, para la moneda y para el comercio; idea que ha estado por tan largo tiempo luchando con la di| ficultad y que hoy es de tanto provecho por su uso. El tratado de Stevin se halla entre las Obras matemáticas de Albert Girard.

Lamentando estas supersticiones desleidas en la ciencia y cuyo colorido se advierte en todos los puntos y en todas las ocasiones en que la civilizacion oriental interviene en la europea, debe decirse que el estudio de la aritmética entre los antiguos, se dirigia á las proWallis dió la aritmética de los infinitos; piedades de los números, como el de la fisica si bien [debe decirse que la doctrina de los á reconocer las de los cuerpos ó seres de la indivisibles de Cavalieri, auxilió este descunaturaleza, buscando en ellos sus relaciones brimiento útil entonces, y cuyo valor ha descon la forma, á fin de ajustarlos con la geo- merecido por el cálculo diferencial é intemetría; de donde provienen los números oblon-gral. gos, poligonos, piramidales, sólidos, planos, circulares, esféricos, sin olvidar los abundantes, amistosos, etc.

El partido que los modernos han sacado de la aritmética, no amengua la sutileza con que de ella se servian los antiguos: puede como un ejemplo de esto citarse la aritmética arenaria de Arquímedes. Esta invencion profunda consiste en hallar un número inmenso que se determina con una facilidad maravillosa, y que no obstante, segun lo ha demostrado aquel gran geómetra, es mayor que el número de todos los granos de arena con que pudiera llenarse el espacio de todo el universo hasta las últimas estrellas fijas. El uso de esta invencion consiste en hacer comprender sin dificultad una serie casi infinita de números. El libro escrito por Arquimedes con este propósito se tradujo del griego al aleman por J. Ch. Sturm, el cual lo publicó adicionado

con notas.

Si la aritmética fué inventada por Enoch, á quien los árabes llaman Edris, ó bien si fué descubierta en la India, segun cree Wallis, contra aquella presuncion de Boecio, cuestion es de no grande importancia, tanto porque no hay razones bastantes para resolverla, como porque aun despues de hallada la aritmética madre, dificilmente podria reconocerse en ella la verdadera ciencia de los números tan clara como en la geometría de los griegos se reconoce la de la estension. A que altura llegara la aritmética de los pueblos anteriores á la Grecia, se infiere por la de los griegos mismos que heredaron el saber de los orientales, y en este punto no pocas de sus supersticiones. Las piedrezuelas ó fichas llama- MATERIA SACRAMENTAL. (Teologia.) En das cálculos, empleados para las operaciones todos los sacramentos distinguen los teólogos aritméticas, de donde proviene el uso de las la materia de la forma. Por la primera enpalabras, cálculo y calcular, y asimismo los tienden el signo, el rito sensible ó la accion artificios de que se valian, como la tabla de que constituye el sacramento: por la segunda, Pitágoras para semejantes operaciones, en las las palabras que espresan la intencion que tiecuales ofrecian gran dificultad las combina-ne el ministro al hacer esta accion, y el efecciones de letras empleadas como números, to del sacramento. Asi, por ejemplo, en el dejan entender que aquel arte no tiene verda-Bautismo, la materia del sacramento es la abludera importancia hasta que aparecen los ca-cion ó la accion de derramar agua sobre el ractéres ó cifras de la aritmética comun, propios de los sarracenos y trasmitidos por estos á los españoles, de quienes trascienden á los pueblos de la cristiandad por mediacion del papa Silvestre II, conocido bajo el nombre de Geber; nombre hacia el cual llamamos la atencion por verlo repetido entre los que figuran en los orígenes del álgebra.

Bautizado: la forma son las palabras: " Yo te bautizo en el nombre del Padre, del Hijo y del Espíritu Santo. » Si la ceremonia de derramar agua sobre un niño no fuese acompañada de ninguna palabra, seria una accion indiferente, que podria tener por objeto lavar á este niño ó refrescarle; mas añadiendo las palabras sacramentales, estas determinan la accion á un fin espiritual, y hacen comprender que no es ya una accion profana: ellas son, pues, las que le dan la forma ó las que constituyen la naturaleza del sacramento.

Puede decirse que la ciencia aritmética es enteramente moderna. Los antiguos contaban de diez en diez, dando grande importancia á este número, y calculaban prefiriendo las fracciones sexagesimales especialmente en la En la Confirmacion la materia es la impoastronomía, en la division del círculo, etc., desicion de manos del obispo, y la uncion hecha donde procede el servicio de ellas hasta hoy.con el santo crisma; para la Eucaristía es el Débese à Juan Neper la aritmética loga-pan y el vino. La Penitencia tiene por materia ritmica de tanto auxilio para la trigonometria. los actos del penitente, es decir, la contricion, Juan Regiomontano halló la utilidad de la confesion y la satisfaccion. El nombre mis